Где нужен факториал
- Перестановки: n разных предметов можно расставить n! способами.
- Сочетания: выбрать k из n без учёта порядка — n! / (k! · (n − k)!) способов. Например, 6 из 45 в лотерее — 8 145 060 вариантов.
- Ряды Тейлора: число e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …
Факториал растёт быстрее любой степени: 20! уже больше двух квинтиллионов, а 70! — больше гугола (10¹⁰⁰). Названия таких чисел — в таблице больших чисел, а разложить число на множители поможет калькулятор простых множителей.
Частые вопросы
Что такое факториал?
Факториал n! — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Факториал показывает, сколькими способами можно расставить n разных предметов по порядку: 5 книг на полке — 120 способов.
Чему равен факториал нуля?
0! = 1 по определению. Это согласуется с формулой n! = n · (n − 1)!: 1! = 1 · 0!, значит 0! = 1. И по смыслу: пустое множество можно упорядочить ровно одним способом.
Чему равны 3!, 4!, 5! и 10!?
3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 10! = 3 628 800.
Что такое двойной факториал?
n!! — произведение чисел той же чётности, что и n, от n вниз: 7!! = 7 · 5 · 3 · 1 = 105, 8!! = 8 · 6 · 4 · 2 = 384. Это не факториал факториала: (3!)! = 720, а 3!! = 3.
Сколько нулей на конце 100!?
24. Каждый ноль даёт пара множителей 2 · 5, а пятёрок меньше, чем двоек. Среди чисел до 100 двадцать делятся на 5 и четыре — на 25 (дают по второй пятёрке): 20 + 4 = 24.